本专题资料由网友胡呵提供, 特此感谢.

    菱形12面体有特殊的性质, 它能满足3维空间最密堆积. 参阅
http://140.114.18.41/ssp/1-3.html
http://mathworld.wolfram.com/Cuboctahedron.html

    一个球, 周围可以接触多少个同样大小的球? 答案是12个, 这12个球的中点构成一个截半立方体(Cuboctahedron), 中心球同这12个球的12个切面组成的多面体就是此菱形12面体. 这实际是求截半立方体的对偶多面体(Dual).
    用玻璃球在跳棋棋盘上垒起来, 就得到这种最密堆积. 但是, 如果真的用玻璃球垒这种堆积时, 你会发现, 在铺完第1层和第2层后,第3层有2种铺法, 其中有另外一种最密堆积.

    这12个球的中点构成一个双三角平顶塔(triangular orthobicupola - J27), 切面组成的多面体就是J27的对偶多面体, 由6个菱形, 6个等腰梯形组成.

    第一种最密堆积可有两种方法堆积而成; 第二种最密堆积只有一种方法堆积而成.
    第一种最密堆积的第2种堆积方法是:
    第一层4个球, 正方形排列;
    第二层5个球, 一个在中心, 其余4个在外围, 正方形排列;
    第三层4个球, 正方形排列;

    将上面的堆积旋转到某个角度观察, 可以发现它与前的的第一种堆积是同构的, 每个球周围也是接12个球, 殊途同归. 很多大型无柱场馆(如体育馆)的顶棚都是按第一种最密堆积的第二种堆积方法做的, 有机会你可以去深圳体育场看看.


    在上面的CaF2晶体结构里, 你可以发现什么?


    每个菱形面的锐角是70度32分, 钝角是109度28分. 这也著名的蜂巢问题的解答, 参阅
http://www.sclib.org/sccrn/zsbk/snbk/sx/9.htm
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_07_2/page4.html


    另外, 将正多面体的每个面接一个棱锥, 当相邻的两个面的棱锥的面刚好成平面时, 就可以得到由菱形组成的多面体. 菱形12面体可以由正八面体或正方体演变过来的. 另外还有一种由正十二面体和正二十面体演变的菱形30面体. 五种正多面体只能演变出2种菱形多面体.